雅可比分析,雅可比求解

如何理解雅可比迭代法和高斯迭代法?

高斯迭代法可看作是雅克比迭代法的一种修正。两者的收敛速度在不同条件下不同，不能直接比较，即使在同样条件下，有可能对于同样的系数矩阵出现一种方法收敛，一种方法发散。计算谱半径，普半径小于1，则收敛，否则不收敛。其中谱半径就是迭代矩阵J或者G的最大特征值。

高斯赛德尔迭代所需的储存量少，每迭代一次只需一组存储单元，雅可比需要两组。但是在精度和迭代速度上没有绝对关系。关于收敛性：原矩阵A对称正定，高斯赛德尔迭代必收敛。雅可比迭代不一定收敛。

Jacobi迭代法：在每次迭代中，需要利用上一次迭代的全部分量才能计算出当前分量的新值。也就是说，Jacobi迭代法对每个分量的更新是相互独立的，计算量较大，但是易于并行化。Gauss-Seidel迭代法：在每次迭代中，会利用已经更新的分量来计算下一个分量的新值。

所以说迭代法可以使得到的答案更精确，而且计算量也比一般方法少。雅可比法和高斯-赛德尔迭代法则是解线性方程组的，而且适合用于求解系数矩阵很多元素都是零的线性代数方程组。而雅可比法和高斯-赛德尔迭代法的区别就是前一个是同时代换，后一个是逐个代换。

雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士著名数学家雅可比。雅克比迭代法的计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易进行计算。

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